关键词：LQR，倒立摆，实时控制
Xie Lirong，Wang Zhiyong，Wang Li
Abstract：In this paper ,on the base of the model of the single inverted pendulum, analysy the capability of the system. An LQR - based on optimal control system is designed used to the actual control of an inverted pendulum and acquire a good effect.
Keywords：LQR，Inverted Pendulum，Real Control
0 引言
倒立摆系统是非线性、强藕合、多变量和自然不稳定的系统。线性二次型最优控制（Linear Quadratic Regulator—LQR）问题在现代控制理论中占有非常重要的位置。由于线性二次型（LQ）性能指标易于分析、处理和计算，而且通过线性二次型最优设计方法得到的控制系统具有较好的鲁棒性与动态特性等优点，线性二次型在控制界得到普遍重视。运用LQR对倒立摆进行最优控制系统,并从实时控制效果出发,
1 倒立摆系统分析
深圳固高公司研制开发的一级直线倒立摆GIP-100-L ,它是一个单输入多输出的四阶控制系统,结构组成如图1所示。
图1 倒立摆系统构成
1.1 倒立摆系统模型
对倒立摆系统进行受力分析[1]可以得到系统的状态空间表达式为：
1.2 倒立摆系统稳定性分析
对式（1）所描述的倒立摆系统进行阶跃响应分析[2]。小车位移和摆杆角度阶跃响应曲线如图2和图3所示。
图2 小车位移阶跃响应曲线
图3 小车角度阶跃响应曲线
小车位移和摆杆角度都是发散的，倒立摆系统不稳定。
1.3 倒立摆系统能控性分析
系统能控性是控制器设计的前提。由能控性矩阵M=[B AB …An-1B ]，在MATLAB中利用可控性矩阵的ctrb命令来计算，可以得出Rank（M）=4,可知系统可控。
2 LQR控制器设计
2.1 二次型最优控制原理
设给定线性定常系统的状态方程为
二次型性能指标函数[3]:
其中:加权阵Q和R是用来平衡状态向量和输入向量的权重,Q是半正定阵,R阵是正定阵。
最优控制规律：
其中：K为最优反馈增益，P为黎卡提矩阵方程的解。
黎卡提矩阵方程：
则，最优反馈增益K为：
2.2 LQR参数
由MATLAB语句K=lqr（A,B,Q,R）,取Q=diag（1000,0,70,0），求得K=[-31.623 ,-20.151,72.718,13.155]，即为LQR控制器控制器参数[5]。
3 系统仿真与实控
3.1系统仿真
在MATLAB/Simulink环境搭建如图4所示仿真模型[4]。
图4 仿真模型图
运行结果如图5所示：
图5 仿真结果图
由图5可以看出，系统能较好的跟踪阶跃信号，摆杆的超调量足够小,稳态误差、上升时间与调整时间也符合设计指标要求。这时如果再增大Q ,系统的响应还会有所改善,但是在保证Q足够小并兼顾其它响应指标时,系统响应已经能够满足要求了。
3.2 系统实控
利用固高倒立摆系统MATLAB实时控制平台，建立系统时控模型如图6所示：
图6 时控模型图
利用LQR设计的控制器对倒立摆进行实时控制,可以使倒立摆达到稳定,起摆时小车位置和摆杆角度响应曲线如图7、图8所示。
图7 起摆过程小车位移实控曲线
图8 起摆过程摆杆角度实控曲线
在倒立摆系统稳定的情况下,对系统施加干扰 , 小车位置和摆杆角度响应曲线如图9、图10所示。
图9 小车位移受扰动实控曲线
图10 摆杆角度受扰动实控曲线
小车能迅速调整,使整个系统在很短的时间内恢复平衡。
4 结束语
运用LQR实现了一级倒立摆的控制，仿真和实控证明设计控制器的有效性，系统具有良好的稳定性和鲁棒性。
参考文献：
[1]固高科技有限公司.固高倒立摆与自动控制原理实验指导书[M].深圳:固高科技有限公司,2005年9月。
[2]邹伯敏.自动控制理论[M].北京:机械工业出版社，2003年。
[3]刘豹.现代控制理论[M].北京:机械工业出版社，2007年。
[4]吴晓燕,张双选.MATLAB在自动控制中的应用[M] .西安：西安电子科技大学出版社,2006年。[5]王士莹,张峰,陈志勇,赵协广.直线一级倒立摆的LQR控制器设计[J].信息技术.2006年, 35（6）:98～99。
[6]王仲民,孙建军,岳宏.基于LQR的倒立摆最优控制系统研究[J].工业仪表与自动化装置.2005年,3（6）:28～32。
